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a:5:{s:8:"template";s:3952:"<!DOCTYPE html> <html lang="ja"> <head> <meta charset="utf-8"/> <title>{{ keyword }}</title> <link href="http://fonts.googleapis.com/css?family=Open+Sans:300italic,400italic,700italic,800italic,400,300,700,800|Raleway:400,200,100,500,700,800,900&subset=latin,latin-ext" id="divi-fonts-css" media="all" rel="stylesheet" type="text/css"/> <meta content="width=device-width, initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, user-scalable=0" name="viewport"/> <style rel="stylesheet" type="text/css"> @font-face{font-family:Raleway;font-style:normal;font-weight:100;src:local('Raleway Thin'),local('Raleway-Thin'),url(http://fonts.gstatic.com/s/raleway/v14/1Ptsg8zYS_SKggPNwE44Q4Fv.ttf) format('truetype')}@font-face{font-family:Raleway;font-style:normal;font-weight:200;src:local('Raleway ExtraLight'),local('Raleway-ExtraLight'),url(http://fonts.gstatic.com/s/raleway/v14/1Ptrg8zYS_SKggPNwOIpWqhPBQ.ttf) format('truetype')}@font-face{font-family:Raleway;font-style:normal;font-weight:400;src:local('Raleway'),local('Raleway-Regular'),url(http://fonts.gstatic.com/s/raleway/v14/1Ptug8zYS_SKggPNyCMISg.ttf) format('truetype')} a,body,div,html,li,p,ul{margin:0;padding:0;border:0;outline:0;font-size:100%;vertical-align:baseline;background:0 0}body{line-height:1}ul{list-style:none}:focus{outline:0}footer,header,nav{display:block} body{font-family:Raleway,Arial,sans-serif;font-size:14px;color:#666;background-color:#fff;line-height:1.6;font-weight:400;-webkit-font-smoothing:antialiased}body.et_fixed_nav{padding-top:80px}a{text-decoration:none;color:#7ebec5}a:hover{text-decoration:none}p{padding-bottom:25px;line-height:24px}p:last-of-type{padding-bottom:0}.clearfix:after{visibility:hidden;display:block;font-size:0;content:" ";clear:both;height:0}.container{text-align:left;margin:0 auto;width:1080px;position:relative}#main-header{top:0;background-color:#fff;width:100%;z-index:99999;padding:18px 0 0 0;min-height:43px;box-shadow:0 1px 0 rgba(0,0,0,.1);-moz-box-shadow:0 1px 0 rgba(0,0,0,.1);-webkit-box-shadow:0 1px 0 rgba(0,0,0,.1);-moz-transition:all .2s ease-in-out;-webkit-transition:all .2s ease-in-out;transition:all .2s ease-in-out}.et_fixed_nav #main-header{position:fixed}nav#top-menu-nav{padding-top:11px}#top-menu,nav#top-menu-nav{float:left}#top-menu li{display:inline-block;font-size:14px;padding-right:22px}#top-menu a{color:#666;text-decoration:none;display:block;position:relative}#top-menu a:hover{color:#333}#top-menu li>a{padding-bottom:29px}#et-top-navigation{float:right}.nav li{position:relative}.nav li:hover{visibility:inherit}#footer-bottom{background-color:#1f1f1f;background-color:rgba(0,0,0,.32);padding:15px 0 5px}#footer-info{text-align:left;color:#666;padding-bottom:10px;float:left}@media only screen and (min-width:981px) and (max-width:1100px){.container{width:960px}#et-top-navigation{margin-right:34px}}@media only screen and (max-width:980px){.container{width:690px}#top-menu{display:none}#main-header{padding-bottom:20px}#et-top-navigation{margin-right:34px}.et_fixed_nav #main-header{position:absolute}#footer-info{float:none;text-align:center}}@media only screen and (max-width:767px){#et-top-navigation{margin-right:34px}.container{width:400px}}@media only screen and (max-width:479px){#et-top-navigation{margin-right:34px}.container{width:280px}}.clearfix:after{visibility:hidden;display:block;font-size:0;content:" ";clear:both;height:0}</style> </head> <body class="et_fixed_nav safari iphone et_includes_sidebar"> <header id="main-header"> <div class="container clearfix"> <a href="#"> {{ keyword }} </a> <div id="et-top-navigation"> <nav id="top-menu-nav"> <ul class="nav" id="top-menu"> <li><a href="#">Home</a></li> <li class="page_item page-item-23"><a href="#">home</a></li> </ul> </nav> </div> </div> </header> {{ text }} <footer id="main-footer"> <div id="footer-bottom"> <div class="container clearfix"> {{ links }} <p id="footer-info">{{ keyword }} 2020</p> </div> </div> </footer> </body> </html>";s:4:"text";s:9932:"逆・裏・対偶と否定今回の記事では, タイトルにも書いたように, 命題の逆, 裏, 対偶と否定について説明していきます.そもそも命題とはまず, 命題とは, 真 (その文が正しい) か, 偽 (間違っている) かが定まるような文のことを言います )いろいろな証明の方法数学の証明にはいろいろなパターンがありますが, ここでは証明でよく使う代表的な証明方法をいくつか挙げて説明します....逆 : 「\(n\) が偶数ならば, \(n\) は 4 の倍数」「\(a\geqq0\) ならば (「\(n\) が奇数ならば \(a^n<0\)」が偽)」命題 \(A\), \(B\) と対応させて, 次の集合を考えます. (A=「\(n\) が 4 の倍数」, B=「\(n\) が偶数(2の倍数)」となっています)\(\overline{B}^\prime\): 2 の倍数でない整数全体裏 : 「\(n\) が 4 の倍数でないならば, \(n\) は偶数でない」とすると, 対偶「\(\overline{B}\) ならば \(\overline{A}\)」が真であることは,命題の真偽が対偶の真偽と一致するという事実は, 集合の包含関係と関連があります.逆は \(n=2, 6, 10\) など 偶数であって 4 の倍数でないものが存在するので偽,\(\overline{A}^\prime\): 4 の倍数でない整数全体現役京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.この場合, 何と比べて \(10^{100}\) が大きいのかが書かれていないので, 人によっては大きい数と思うでしょうし, \(10^{100}\) が小さいと感じる人もいるかもしれないからです.今回の記事では, タイトルにも書いたように, 命題の逆, 裏, 対偶と否定について説明していきます.この命題は, A が真であって B が偽であるような場合のみ偽となります.このように考えると, 命題「A ならば B」の否定は, A が真であって B が偽である場合のみ真となる命題なので, 「A かつ (Bでない)」となります.「\(A\) ならば \(B\)」 という形をした命題に対して, 逆, 裏, 対偶という 3 つの命題を考えることができます.簡単に言えば, 「\(\overline{A}\)」 は 「\(A\)でない」と捉えて構いません.\(\overline{B}^\prime\subset\overline{A}^\prime\)このような場合に出てくる, 「A ならば B」の否定を考えていきます.逆と裏における反例 (\(n=2, 6, 10\)) が一致していることからも分かりますが, 一般にどのような場合も 元の命題と対偶, 逆と裏の真偽はそれぞれ一致します.「\(n\) が 4 の倍数ならば \(n\) は偶数」は真ですが, 例えば\(n=3\) とした場合のまず, 命題とは, 真 (その文が正しい) か, 偽 (間違っている) かが定まるような文のことを言います. 日常生活では、「ならば」の意味など、裏も必ず真であるような誤謬をすることがある。（前件否定） 推論規則の二重否定の除去「￢￢p ⊢ p」により、裏「￢p⇒￢q」の裏「￢￢p⇒￢￢q」から元の命題「p⇒q」を演繹できる。 「こんなの偶然でしょう？」と感じた方は、ぜひ他の例題も解いてみて下さい。よって、この性質を利用すれば、対偶を証明することで間接的に命題も正しいことを導くことができます。先ほどお伝えした通り、あくまで $2$ つの命題の関係を表すものだと認識していただきたいです。しかし、ベン図を用いて示している時点で、説明の範囲にとどまります。何気なくやってしまいましたが、「 $a,b$ の少なくとも一方は偶数である。」の否定は「 $a,b$ がともに奇数である。」になります。(2) 対偶「 $a,b$ がともに奇数であれば、積 $ab$ は奇数である」を示す。ここで、$$x+y=\frac{q}{p}+\frac{s}{r}=\frac{qr+ps}{pr}$$であり、$pr≠0$ かつ $pr,qr+ps$ はともに整数であるので、$x+y$ は有理数である。今日は、命題が真であることの証明方法の $1$ つとして「対偶証明法」を学びました。条件 $p$ を満たす集合を $P$、条件 $q$ を満たす集合を $Q$ とすると、$$「p ⇒ q が真」 ⇔ P\subset Q$$であることは、先ほど紹介した記事で学びました。$x,y$ がともに有理数なので、整数 $p,q,r,s$ を用いて$$x=\frac{q}{p} , y=\frac{s}{r}$$と表すことができる。( $p,r≠0$ )であり、$3k^2±2k$ は整数なので、$n^2$ は $3$ で割ったときの余りが $1$ となる。$a,b$ がともに奇数なので、$$a=2m+1,b=2n+1 ( m,n はある整数)$$と表すことができる。すると、「 $\sqrt{2}$ であるならば無理数である。」となりますね＾＾また、実は $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ の表す図形は以下の楕円なので、領域の知識と組み合わせて解くこともできます。ですから、単品で「これは裏」とか「これは対偶」とかは言えません。これで逆・裏・対偶の言葉の意味については理解していただけたでしょうか。(1) 対偶「 $n$ が $3$ の倍数でないならば、$n^2$ は $3$ の倍数でない」を示す。①、②より、$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}>1+0=1$$最後に、よく混同しがちな「背理法」との違いについて、解説したいと思います。この問題のように、仮定の部分に $2$ 乗があったり積があったりすると、どうしてもややこしくなってしまいます。まず、「 $2$ は素数である。」のように、文中に”ならば”が使われていないときは、$$2であるならば素数である。$$というふうに、自然な文に言い換えてあげましょう。ここで、この命題の逆裏対偶を求め、ついでに真偽も考えてみましょうか。これ以上の応用問題はこの記事では扱いませんが、他の記事でもたまに出てくることがあります。これは、「命題とその否定の真偽が逆になる」という性質を使っています。以上の図を見てもらえばわかるとおり、逆裏対偶というのは何かの命題に対して定義されるものです。それでは、この知識も踏まえて、残り $2$ 問解いていきましょう。集合論の知識がいかに重要なのか、わかっていただけたかと思います。それではいよいよ、対偶証明法を用いる問題を解いていきましょう♪$n$ が $3$ の倍数でないので、$$n=3k±1 ( k はある整数)$$と条件 $p,q$ を定めれば、この結論は$$p または q$$を表していることになります。対偶証明法を用いるケースを大きく $2$ つにわけて、$2$ 問ずつ計 $4$ 問ご用意いたしました。このように、自明すぎる(明らかである)ことを証明しようとすると、意外と難しいのです。そこら辺のお話も、ぜひ関連記事のリンクから飛んでご覧いただければと思います♪まずは、”ならば”を使った自然な文に書き換えます。よって、この否定は、集合論でド・モルガンの法則が成り立つことから、$$\overline{p または q}=\overline{p} かつ \overline{q}$$となります。また、もう一つの性質 $$\overline{\overline{P}}=P$$ を用いて、①に $P=\overline{Q}$、$Q=\overline{P}$ を代入すると、$$\overline{Q}\subset \overline{P} ⇒ P\subset Q ……②$$が示せます。ここで対偶をとって、「有理数ならば $\sqrt{2}$ でない。」となりました。よって、$$「p ⇒ q が真」 ⇔ 「\overline{q} ⇒ \overline{p} が真」$$この必要十分性が示せました。であり、$2mn+m+n$ は整数なので、積 $ab$ が奇数であることが示せた。では、数学における”対偶”の意味について、次の章から詳しく見ていきましょう。結局、こういう問題は対偶証明法を使った方が手間も省けると思いますよ＾＾すると、$$p: a が偶数である$$$$q: b が偶数である$$(2) 対偶「 $x>2$ ならば $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}>1$ である」を示す。たしかに、そのような意味もあるのですが、それは日常的に使われる”対偶”の意味ですね。一応、$2$ 乗の足し算が $0$ 以上であることから、$$0≦\frac{x^2}{4}≦\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}≦1$$と求めることができるので、$$-2≦x≦2$$となり、これは $x≦2$ の十分条件であるので証明完了、と解くこともできます。右向きの矢印$$P\subset Q ⇒ \overline{Q}\subset \overline{P} ……①$$ はベン図より明らかです。逆・裏については、その数を $x$ とすると、いろいろ反例が作れてしまいます。このように、無理数の定義は数式としては非常に考えづらいものなんですね！その際には「これはきっと対偶証明法を使えばいいんだな…」というふうに、ぜひ疑いながら読んでいただきたく思います。「$\sqrt{2}=1.41421356…$ なので、循環しない無限小数だから無理数」というのも、たしかにその通りですが、証明としては少し苦しいですよね。先ほどの問題の(2)で、「 $a,b$ の少なくとも一方は偶数である。」という条件がありました。例えば $x=3$ です。$3$ は素数ですが $2$ ではないし(逆の反例)、$3$ は $2$ ではないですが素数です(裏の反例)。少し話がそれますが、この原理について次の章で解説していきます。(1) 対偶「 $x,y$ がともに有理数ならば、$x+y$ は有理数である」を示す。 ";s:7:"keyword";s:17:"命題 否定 裏";s:5:"links";s:8986:"<a href='http://arcanepnl.com/site/%E4%BA%BA%E9%96%93%E5%A4%B1%E6%A0%BC-Full-Movie-9fd2eb'>人間失格 Full Movie</a>, <a href='http://arcanepnl.com/site/%E3%82%A4%E3%83%8B%E3%82%A8%E3%82%B9%E3%82%BF-%E5%AD%90%E4%BE%9B-%E3%83%91%E3%82%AA%E3%83%AD-9fd2eb'>イニエスタ 子供 パオロ</a>, <a href='http://arcanepnl.com/site/%E3%82%B5%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC-%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89-%E5%A4%A7%E3%81%8D%E3%81%95-9fd2eb'>サッカー フィールド 大きさ</a>, <a href='http://arcanepnl.com/site/dhc-q10%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%82%AF-%E4%BD%BF%E3%81%84%E6%96%B9-9fd2eb'>Dhc Q10ミルク 使い方</a>, <a href='http://arcanepnl.com/site/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%ACup-%E3%83%AA%E3%82%BB%E3%83%9E%E3%83%A9-%E6%96%B9%E6%B3%95-9fd2eb'>マンガup リセマラ 方法</a>, <a href='http://arcanepnl.com/site/%E3%82%AD%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%83%AF-%E5%96%B6%E6%A5%AD-%E6%97%A5-9fd2eb'>キョーワ 営業 日</a>, <a 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